打人逃跑后要承担的法律责任主要取决于伤害后果，如果经过鉴定被认定为轻伤以上，就构成。
根据《中华人民共和国》第二百三十四条规定，对他人进行故意伤害，致人轻伤的，属于故意伤害罪，可以处三年以下、或者。如果情节较轻，可以处。
相关案例解析
某日深夜，在某市繁华商业区的一条巷子里，发生了一起严重的打人事件。据目击者陈述及监控视频显示，张某与受害人李某因琐事发生口角，随后张某突然动手，对李某实施了连续、猛烈的殴打，导致李某头部、面部多处受伤，一度失去意识。案发后，张某迅速逃离现场，至今未归案。
一、定罪依据
根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条之规定，张某的行为已涉嫌构成故意伤害罪。其在与李某争执过程中，对李某施以暴力，直接造成其身体严重损伤，主观上具有伤害他人的故意，客观上实施了伤害行为并造成了实际损害结果，符合故意伤害罪的构成要件。
二、逃跑行为的影响
张某在实施犯罪行为后立即逃离现场，逃避法律追究，其行为构成刑法中的“逃逸”。根据《刑法》第三百一十条规定，明知是犯罪的人而为其提供隐藏处所、财物，帮助其逃匿或者作假证明包庇的，构成窝藏、包庇罪。尽管张某本人并未涉及窝藏、包庇行为，但其逃跑行为本身反映了其对于自身犯罪行为的明知以及逃避法律制裁的意图，将作为量刑时酌情从重的情节。
三、定罪与量刑
主动投案与自首：张某主动向公安机关投案自首。根据《刑法》第六十七条的规定，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。张某能主动投案并如实供述犯罪事实，可对其依法从轻或减轻处罚。
赔偿与谅解：张某积极赔偿受害人李某的医疗费、误工费、精神损失费等各项经济损失，并争取取得李某及其家属的谅解。根据《最高人民法院关于常见犯罪的量刑指导意见》等相关司法解释，对于积极赔偿并取得被害人谅解的，可以作为酌定量刑情节予以考虑，对被告人从宽处罚。
量刑：张某的犯罪性质、情节、社会危害性以及悔罪表现等因素，若其未能自首，依法对其判处三年以上七年以下有期徒刑；若其能主动投案并如实供述，且积极赔偿、取得谅解，依法对其从轻处罚，判处三年以下有期徒刑或者拘役。